SetTitle("Н.Н. Лузин: письма В.И. Вернадскому"); ?> 

 

                                 Н.Н. Лузин: письма к В.И. Вернадскому

     Н.Н. Лузин (1883-I950) выдающийся русский математик, предста­ет в тех письмах к В.И. Вернадскому, которые публикуются ниже, как крупный философский мыслитель. Он вместе с П.А.Флоренским вышел из рядов Московской математической школы, основателем которой был Н.В.Бугаев (837-1903). Здесь, вероятно, нет необходимости перечис­лять его математические результаты, о которых читатель может полу­чить сведения из энциклопедических источников. Скажем только, что они охватывают такие области математики, как дескриптивная теория функций /Лузин - один из создателей теории/, важные разделы теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии, некоторые проблемы теории меры, многие вопросы, лежащие на стыке с другими областями исследований.

    Что касается мировоззренческого духа, который вынес Лузин из Московской школы, то он очень ярко представлен в книге П.А. Некрасова «Московская философско-математическая школа и ее основатели»[14; 3-249]. Некрасов называет ее философско-математической неслучайно. Ведь в ней царили такие философские идеи, которые очень благотворно сказывались на математическом творчестве. Главная из них - решитель­ный отказ от построения математики на эмпирическом базисе. Определяя такой критерий математического исследования, как точность, Некрасов писал: "Эта точность в основе своей имеет всегда очевидность, но не одну только сенсуалистическую (чувственную, эмпирическую) очевид­ность, а и критическую, которая вырабатываясь чистым сознанием, является продуктом сопоставления и синтеза многочисленных простых элементов и в то же время вносит в них гармонический порядок. Кри­тическая синтетическая очевидность приобретается всегда лишь с большим трудом, и ее нужно отличать от очевидности так называемых "популярных"  quasi-точных познаний" [14;12] .

    Другая важная идея - идея прерывности как элемент миросозерца­ния и аритмологии (теории разрывных функций) (см. об этом публикацию С.С. Демидова и А.Н. Паршина [15;159–181]). С ней в тесной связи стоит концепция дальнодействия, ставящая под сомнение универсаль­ный характер описания всех природных процессов в рамках принципа близкодействия. (Последний, как известно, постулирует невозможность распространения в пространстве каких бы то ни было сигналов со скоростями, превосходящими скорость света, не говоря уже о возможности мгновенных влияний). В 1931 году, незадолго до того, как В.И. Вернадс­кий получил от Лузина первое из перечисленных ниже писем, он записал в дневнике: "Принцип предельной скорости. Если его развить, то воз­можно допустить существование явлений, скорость которых больше ско­рости света.

     Принцип предельной скорости указывает, что в данной среде ско­рость какого-нибудь явления не может превышать некоторого предела, при котором явление разрушает среду" [16; 92]. Здесь Вернадский имеет в виду среду материальную или эфирную. Если же допустить, ука­зывает он, что есть ряд явлений, которые происходят не в материаль­ной и не в эфирной среде, - для них может существовать скорость боль­шая, чем скорость света. И тут он ставит вопрос о сверхсветовой пере­даче мыслей [16; 92]. Проводником сверхсветовой передачи мысли Вернадский считал, по всей видимости, не какую-либо среду в прост­ранстве, а само пространство. Отсюда задача изучения структуры прост­ранства и времени: "Изучение их строения является сейчас основным. К полученным при этом результатам должны будут подвести свою мысль и философы, и теологи" [16; 92].

   Такой образ мыслей, присущий Лузину, Вернадскому, Флоренскому был чужд адептам вульгарного материализма /марксизма/ и социологизма в науке. Выпад против Лузина с позиции господствующей до недавнего времени в нашей стране марксистской идеологии мог для него в 30-х годах кончиться очень печально. Об этом свидетельствует письмо С.А.Чаплыгина Вернадскому, которое мы публикуем вместе с письмами Лузина. К сожалению, травля Лузина была затеяна двумя известными математиками, имена которых здесь не хотелось бы упоминать. Важно отметить другое: философский климат, царивший в Московской матема­тической школе, не имел ничего общего с тем видом философского мрако­бесия, который охватил страну после революции.

    Редакторы данной публикации благодарят Рэма Георгиевича Баранцева, который обнаружил данные письма в архиве Н.Н.Лузина и разрешил познакомить с ними читателей "Русской мысли"•

    Предисловие и примечания к письмам составлены старшим научным сотрудником Института философии РАН, кандидатом философских наук Л.Г. Антипенко.

 

 

                      Н.Н. Лузин --  В.И. Вернадскому

12.6.31. Катастрофически быстрое развитие идей, их бешеная смена ? всё это напоминает мне как бы сжатое устье какой-то большой реки, стремительно несущей свои последние волны; мне представляется, что мы находимся именно в самом устье и, ещё мгновение, куда-то низринемся. Куда? Об этом я могу лишь гадать. Вам дано видеть больше. Может быть, то будет великий океан китайской неподвижности, может быть, это будет смерть бесконечно усталой мысли, или её многомесячный сон, или какая-то совсем новая форма внутренней деятельности, или, наконец, новая наука и вместе с ней vita nuova. По-моему, чистое безумие не видеть приближающегося, не слышать громоподобного «голоса вод многих».
   Странная вещь жизнь и мысль. Прежде казалось всё так ясно: вот светит солнце,  синеет безоблачный купол неба, дует ласковый ветерок, колебля головками цветов, и вот казалось, что это и есть жизнь, и что надо быть счастливым, любить её и мыслью входить в глубь природы.
   А теперь как-то чувствуешь присутствие ? странное ощущение ? могучих ядов, отравляющих самые истоки и чувства, и плохо отдавая себе отчёт, где же скрывается мешающее начало, начинаешь озираться вокруг. И  лишь таинственное небо с его мириадами туманностей, с катастрофической скоростью удаляющихся от нас  и «навсегда закатывающихся от нашего даже умственного горизонта», ? лишь оно одно показывает, что там нет ничего случайного и что наш мучительный миг отравленности мысли должен минуть как вскрик мгновенной боли, за которой мы услышим голос вечной музыки сфер.
  
28.6.37. Никто теперь не знает, что значит «строго доказать» в математике. Ещё недавно это могло бы казаться печальным, сейчас же это веселит, ибо когда ум начинает заблуждаться, идя, казалось, по своему собственному строгому пути, то это означает, что что-то нужно изменить в самом уме ? и это наполняет бесконечно волнующими предчувствиями новой жизни. Видимо, нужно идти путём скорее Гумбольдта и Кювье, чем Гильберта (1).
   В частности, Ваш вопрос о вращениях очень глубок. Вопрос о том, имеется ли два пространства Евклида (2), одно из которых левовращающее, а другое ? правовращающее? И какими безупречными аксиомами характеризовать то и другое пространство?
 
25.5.38. Отмечу одну сторону Вашего логического определения «Жизнь есть совокупность всех живых организмов, в данный момент в биосфере находящихся». Определение какого-либо объекта, предмета, сущности (etre) как совокупности есть манера, завоёвывающая у нас, в математике, преобладающее место в настоящее время. Я не скажу, чтобы эта манера была абсолютно новой. Я сильно невежествен в учении Фомы Аквината, но Лейбниц определял всякое количество (протяжённое, т.е. длину) как совокупность бесконечно малых элементов. В середине XIX века Г. Кантором эта манера очень ярко стала выявляться. В настоящее время математики определяют натуральный ряд как совокупность целых положительных чисел, пространство ? как совокупность точек и т.д. В математике эта тенденция прямо противоположна манере классиков (Ньютон ? Эйлер ? Лагранж ? Лаплас ? Пуанкаре), которые рассматривали математические определения как порочные. Они настаивали на эволюционном образовании этих концепций. С их точки зрения, натуральный ряд не есть совокупность целых положительных чисел, ибо он бесконечен, а всякая совокупность есть конечная. Поэтому они мыслили натуральный ряд как непрестанно пополняющийся новыми и новыми элементами (за n следует n+1), и пространство, как развёртывающееся движением (линия как траектория).
   Теперь я вижу, что биогеохимия принимает точку зрения Кантора. По этому поводу, конечно, не приходится дискутировать, а следует лишь радоваться унификации знания. Но вот тревожный вопрос: эта унификация не есть ли начало конца? Ведь идея совокупности, т.е. замкнутого множества, есть идея ограниченности, полной охваченности, закрытости, законченности etc. И когда мы, по Дираку, определяем физику как совокупность экспериментов и их комбинаций (1), то этой каталогизацией всех экспериментов физики Дирак приваливает нагробный памятник величественному зданию физики.
   И я боюсь, что определение жизни, даваемое теперь в биологии, есть веяние конца. Помните: «Как путник, идущий в горах, внезапно ощущает дуновение морского ветра, ещё не видя моря, так и…» (В.С.). Конечно, такие определения научны, они необходимы, они неизбежны, они имеют рабочую ценность, но не проглядывают ли сквозь них последние усилия безнадёжно стареющей мысли, за пределами которой начало того, чего мы вообще вообразить не можем  и чему ещё  нет имени? Дираковское определение физики меня всегда приводило в ужас: там, где начиналась каталогизация творческих актов науки, там мы вступаем в александрийский период и там начало конца.
  
    20.9.38. Вообще, философски, символ ? вещь мало понятная. На первый взгляд кажется, что символ, знак, не имеет никакой действительной силы вне интеллекта, его создавшего. Но на самом деле символы, будучи вызваны к жизни силою интеллекта, оторвавшись от ума, начинают жить своей собственной жизнью и, комбинируясь между собой, являют истины, удивляющие живой интеллект, который комбинирует эти символы. Мне неизвестно, как давно была понята великая сила символа и по какому поводу. Было ли это ранее изобретения письменности или совпало с её началом. Из новых, Лейбниц с большой глубиною проник в силу символа, и сохранилось его письмо к маркизу Лопиталю, где Лейбниц пишет, что «всё искусство творить в математике проистекает из символа, и чем символ удачнее, тем он сильнее». Кстати, Лейбниц держал открытие дифференциального и интегрального исчислений в течение шести лет, в продолжение которых он искал наиболее удачную символику для этих исчислений. Зато дело его жизни было вполне выиграно и его символика без труда победила ньютонианскую. Но символы имеют, с другой стороны, слабую сторону: ничего не выражать. Такой, например, кажется многим символика в физике эйнштейнианцев, которые утопили в символах весь физический смысл явлений, так что модели Бора, благодаря конкретности, кажутся единственным отрадным явлением в физике, как и здравый смысл английских физиков.
   В последние годы Гильберт захотел обосновать на символах всю математику. Целью его было освобождение от парадоксов и circulus vitiosus. Для этого он все процессы математической мысли облёк в символы и начал учить о том, что вся математика есть лишь соединение в цепи его символов и что этим избегаются circulus vitiosus?ы. Но вскоре же начались парадоксы в самой системе Гильберта и появились circulus vitiosus?ы. Первый, кто усомнился в действенности системы Гильберта, был Лебег. Он мне в Париже в 1930 г. с возмущением говорил о попытке Гильберта и предсказал крушение этой «новой вавилонской башни», ибо «символы Гильберта сами по себе не имеют противоречий и мы можем их с полной безопасностью комбинировать в сколь угодно длинные цепи, но под условием, чтобы символы эти не имели бы конкретного смысла. Едва же настанет момент, когда его символы хотят приложить к конкретности, как смысл, входящий в символы Гильберта, заставляет оживать эти окаменелости и точка пересечения различных цепей символов Гильберта прекрасно может явить противоречие, и circulus vitiosus». Это предсказание оправдалось через несколько лет.
   В новом естествознании для меня нет ничего более увлекательного, как идея космического времени и взаимоотношение жизни и пространства. Важное учение о силе символов тоже получит со временем место в нём. Я надеюсь на это.
  
    24.1.39. Владимир Иванович, кандидаты по математике ? Соболев и Колмогоров ? хорошие. Я буду голосовать за них.
   
    29.8.39. Читаю работы по теории чисел. Удивительная область, где метод нисколько не соответствует предмету! Кажется, теперь более  время для углубленных работ, чем для работ, имеющих целью синтез науки. По крайней мере, когда я пытаюсь думать о нём, то становится так невероятно больно, что начинаешь понимать судьбу науки: не наука, видимо, движет жизнь, но сама есть только отражение движущейся жизни, довольно пассивное, хотя и очень глубокое. Во всяком случае, нужно выполнять долг, т.е. искать нового, проверять внимательно, печатать, не спрашивая о пафосе.
  
    22.12.39. Душевно благодарю Вас за присылку Вашей замечательной книги «Проблемы биогеохимии»… Буду искать в ней путей к восстановлению катастрофически быстро исчезающей у меня веры в положительное значение человеческого разума в недрах вселенской жизни. Совершенно ясно, что то, что выявляется в ведущейся западными державами войне ? лишь цветочки, вернее, только зародыши грядущих дисгармоний в духовной жизни. Символ змеи, кусающей свой собственный хвост, вероятно, очень древнего происхождения, и кто знает, какое отчаяние его создало. У меня лично на сердце полная безнадёжность и лишь хочется проследить до конца  за последними усилиями устремляющейся в тупик  духовной жизни. Поэтому-то я с надеждою буду читать и изучать Вашу книгу, так как всё же не хочется верить, чтобы путь знания был априори порочен.
  
    8.7.40. Мне очень тяжело и грустно утратить непрерывность духовного общения с Вами. Сейчас таковое нужнее всего и не только для меня лично, но и объективно, для науки ? хотя бы…
   Понятие науки изменяется. Истинная наука ? дело живого творящего духа, не оторванного от жизни, но живущего и творящего в глубине жизни. Классическая манера является лишь путами, связывающими творчество. Так, если мы под давлением классических манер (хороших в своё время) откажемся от глубочайших и тончайших исследований ? истинно научных ? о правизне и левизне, о числе измерений пространства, и замкнёмся на формально-математических исследованиях классиков ala Марков А.А. (1), мы не очень двинемся вперёд по пути истинной науки.
   Лично я думаю, что число измерений пространства ? вещь очень, очень тонкая. Вероятно, истинное пространство ? просто безмерно. Но с идеей числа измерений связаны глубочайшие проникновения в теорию целых чисел. Сейчас у меня создаётся вот такая картина: свойства целых чисел бывают двух родов: индуктивные и неиндуктивные (2). Официальная теория чисел свойства второго рода не признаёт. По её мнению, все свойства натуральных чисел индуктивны, т.е. могут быть доказаны «математической индукцией», иначе говоря, рассуждением от n к  n+1. Лично я этого не думаю и, по-моему, свойства второго рода вполне реальны. Может быть, утраченные методы Ферма и Френеля также были неиндуктивной природы.
   Я думаю, что смутное, очень трудное, созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел….(3). Это своеобразный метод, природа которого не разведана,  которым надо идти и который отнюдь не связан с определённым числом измерений реального пространства. Таковое мне представляется бесконечно глубоким понятием и вполне безмерным.
  
    30.10.40. У меня ведь так теперь немного моих учителей и старших коллег, с именами которых связаны лучшие движения ума и сердца моей молодости ? кроме Вас, лишь А.Н. Крылов, С.А. Чаплыгин, Д.М. Петрушевский…
   …Несколько слов об Эйнштейне. Лично я холодно поглядываю на его теории. Ибо есть в них безусловно разрушительная отрицательная сторона. Эйнштейн априори принципиально запрещает спрашивать: «А что в этот миг происходит на Сириусе?»… Это отчётливое запрещение и принципиальное отрицание всеобщего времени тяжко ложатся на мысль ученого, мыслителя, философа и натуралиста. И если как следует провести это в сознание, то это ужасно! Сказать ala Эйнштейн легко, но вывести все следствия ? ужасно! Сближая точки  и  и помещая их в левом и правом полушариях мозга физика, мы, как будто, уничтожаем идею даже локального времени…(1).
   В идеях Эйнштейна есть многое, относящееся скорее к «министерству пропаганды», чем к скромной добросовестной мысли учёного. Эйнштейна я видел лично, в институте Анри Пуанкаре, на улице Пьера Кюри. Я был туда приглашён Борелем на закрытое сообщение. Собралось 30 человек ? серьёзнейшие люди, вроде Картана. И вот самое тяжёлое в этом сообщении было предельное самодовольство лектора, самовосхваление, далёкое от серьёзной строгости и граничащее с ребячеством. А ведь в своё время я слышал лично J.J. Tompson?a в Кембридже. Он был очень стар и очень серьёзен. Его сообщение было чарующим…
   Относясь холодно к идеям Эйнштейна, я, как учёный, не могу не видеть в них какой-то загадки, понять которую не могу. Дело в том, что, при всей принципиальной шаткости идей Эйнштейна, дело часто поворачивается так, что формулы, выведенные из теорий Эйнштейна, эмпирически оказываются верными. Это для меня самая большая загадка.
  
                         С.А. Чаплыгин ? В.И. Вернадскому 
    11.7.36. Статья о Лузине прямо возмутительна: пусть он погрешил в оценке того или другого претендента на учёную степень, учёное звание; но как отсюда делать выводы о вредительстве?! ... Что касается обвинений в фашизме, проскальзывающих в статье, в принадлежности к старой московской реакционной школе математиков, то я этого уже совсем не понимаю… Остаётся критическая оценка работ Лузина. Но по этому поводу приходится сказать только то, что здесь вполне обнаружилась полная несостоятельность авторов, доказывающая малое и поверхностное знакомство с его работами, их сознательное искажение правильной оценки… Авторитет его несравним с авторитетом Хинчина, который ему противопоставляется. Но что теперь делать? Как помочь Н.Н.? Я сделал пока одно: послал телеграмму Н.Н., копию которой прилагаю:
   «Поражён неожиданными совершенно незаслуженными газетными нападками на Вас. Ваш высокий всемирно признанный научный авторитет не может быть поколеблен. Твёрдо надеюсь, что Вы найдёте в себе силы спокойно отнестись к малоавторитетной критике Ваших трудов. О совершенно необоснованных обвинениях другого порядка не говорю». 


            Комментарии и примечания к письмам

 I.    28.06.37.

1. В данном случае речь идет о программе формализации мате­матики, выдвинутой еще в начале 900-х годов Д. Гильбертом. Как из­вестно, программа эта потерпела крах в результате доказанных в 1931 году австрийским математиком К. Гёделем теорем о неполноте формали­зованной арифметики и родственных ей формальных систем. Н.Н. Лузин критиковал гильбертову программу независимо от открытий Гёделя, хотя приходил в своих выводах по сути дела к тем же результатам, что и Гёдель. В 1933 г. он писал о ней как о теории, имеющей неко­торые привлекательные стороны по сравнению с интуиционистской прог­раммой ревизии всей математики, сформулированной Брауэром [1;29-30]. Но в целом оценка Лузиным формализма Гильберта - так кратко называ­ют гильбертову теорию формализации - была отрицательной. Об этом свидетельствуют следующие его размышления:

"Относительно же самого существа теории Гильберта какие-либо суждения еще затруднительны, ввиду отсутствия полных о ней сведений. Наиболее деликатным моментом является, без сом­нения, вопрос о petitio principii: избегнуто ли это? Без сомнения, некоторые движения нашей мысли могут быть "формали­зованы", т.е. отмечены символом. Гильберт говорит о превращении в символы всякой математической мысли. Без сомнения, мы имеем возможность оперировать живой мыслью, непосредственным (не символизированным) рассуждением над этими символами, как бы над некоторыми окаменелыми остатками некогда также живой мысли. Нет сомнения, далее, что мы, как это делается в теории инвариантов, можем приходить, принимая во внимание форму и вид этих символов, к определённым заключениям о возможности или невозможности иметь "правильное" сочетание этих символов, окан­чивающееся фигурой 1=0. Нет сомнения, что все это можно проделать без petition principii. Но когда мы хотим вывести отсюда определенные заключения об отсутствии противоречия в живой мысли внутри её самой, мы должны оживить эти окаменелости, превратив их в процессы живой мысли. Имеется ли гарантия, что на некотором месте ожившего узора мы не встретим конфликта живой мысли с самою собой?" [1; 30-31].

    По замыслу Гильберта формализованный вариант арифметики вы­ступал образцом для всякой аксиоматизируемой математической теории в том смысле, что полагаемая в ее основание система аксиом удовлет­воряла бы требованиям полноты и непротиворечивости. Противоречивая система аксиом страдает, естественно, несостоятельными выводами, которые можно представить наглядным образом в виде неправомерного равенства 1=0. Гёдель в своих теоремах неполноты показал, что в рамках тех финитных средств, которыми разрешает пользоваться Гильберт, нельзя доказать непротиворечивость арифметических аксиом. Из допуще­ния же, что система арифметических аксиом непротиворечива, следует, что она неполна.

2. Вопрос о двух пространствах – левовращающем и правовращающем – возник у В.И. Вернадского в связи с открытием оптически активных веществ, называемых изомерами. Простейшие зеркальные изомеры - это левовращающие и правовращающие молекулы органических и неорганических веществ. Вернадского интересовало то обстоятельство, что в наблюдае­мом нами биоорганическом мире нарушена эта самая зеркальная, или киральная, симметрия: в противоположность неживой природе в биосфере используются практически только левые молекулы аминокислот и только правые молекулы сахаров, но не их зеркальные двойники. Отсюда Вернад­ский делал вывод, что пространство косной, неживой, материи и прост­ранство живого вещества различаются между собой: первое симметрично /однородно и изотропно/, второе дисимметрично. Таким образом, возникает задача об изучении взаимоотношения симметричного и дисимметричного пространства, и вопрос существовании двух изомерных евклидовых пространств отпадает. Он переносится в область не-евклидовой геометрии. В ней же переход от одного оптического изомера к другому изображается посредством перехода с лицевой стороны плоскости Лобачевского на её обратную сторону, когда геодезическая линия приобретает мнимое значение. Такой переход к тому же сопровождается преобразованием вещественной (энтропийной) компоненты времени в мнимую (антиэнтропийную) компоненту.

    П.А. Флоренский отмечал, что вообще  само понятие двойственности пространства имеет смысл лишь при том условии, что реальное пространство, в котором мы живем, является искривлен­ным. Тогда его зеркальный образ и прообраз могут быть описаны слова­ми "вне" и "внутри", и разница между понятиями внешнего и. внутренне­го приобретает абсолютное значение. В частности, в случае двухмер­ного пространства различие между двумя сторонами поверхности не может не быть условным, относительным, если данная поверхность пред­ставляет собой плоскость, "Но у кривой поверхности, – писал он, - различение сторон не условно, а лежит в природе самой поверхности. "Вне" и "внутри" в этом случае вполне определено и не зависит от нашего произвола, будучи обусловлено знаком средней кривизны на той и на другой стороне поверхности" [4;88].

 

II. 25.5.38.

1.Лузин здесь говорит о тенденции переноса всего научного знания, в том числе и математики, на эмпирические, позитивные, или, в плане философской доктрины, позитивистские основания. В зависи­мости от того, какой вид чувственной реальности - внутренней или внешней - полагался в основу математической деятельности, эмпиризм в математике разделился, начиная с 10-х годов текущего столетия, на интуиционизм и конструктивизм вместе с формализмом Д. Гильберта. Интуиционизм, родоначальником которого был голландский математик Брауэр, апеллировал к внутреннему чувству потока сознания человека, в котором проявляется течение времени. Интуиционизм отбрасывает, по словам Брауэра ту предпосылку упорядочения нашей чувственной деятельности, которую Кант видел в пространстве, но остается ре­шительным сторонником априорности времени  [5; 127-128] . А вот раз­личие между интуиционизмом и формализмом Брауэр выразил, исходя из понятия математических законов, именно:

   "Вопрос относительно того, на каких основаниях базируется неоспоримая точность математических законов, был в течение столетий предметом философского исследования, и здесь можно различать две точки зрения: интуиционизм (большей частью фран­цузский) и формализм(большей частью немецкий). Во многих от­ношениях эти две точки зрения получили черты противоположности друг другу; но в течение последних лет они достигли согла­сия в том, что точная общезначимость математических законов, как законов природы, несомненна. На вопрос же, где существует математическая точность, обе стороны отвечают по-разному: интуиционист говорит: в человеческом интеллекте, формалист говорит: на бумаге" [5;I25].

    Что касается конструктивизма, то он представляет собой вульгарно-материалистическую версию интуиционизма и формализма одновременно. Такая версия применительно к формализму Гильберта раскрыта, напри­мер, П.К.Рашевскии в статье ««Основания геометрии»Гильберта и их место в историческом развития вопроса» [6]. «<...> в глубочайших своих основах, - писал Рашевский, - теория Гильберта апеллирует - по своему объективному смыслу - к материальному опыту, так как она рекомендует обращаться с логико-математическими знаками в конечном счете просто так, как если бы это били предметы материального мира. А это становится возможным лишь в связи со строгой конечностью всех комбинаций, в которых логико-математические знаки встречаются в связи с возможностью до конца рассмотреть, перебрать каждую такую комбинацию. Поэтому так называемая «конечная установка» Гильберта и играет столь существенную роль в его теории» [6; 48-49].

И интуиционизм, и конструктивизм - с формализмом дело обстоит чуть-чуть посложнее - отвергают существование актуальной бесконеч­ности в математике, довольствуясь так называемой абстракцией потен­циальной осуществимости или потенциальной бесконечности. Лузин при­держивался, конечно, платонистского мировоззрения в математике, но он критически относился к предложенному Г.Кантором способу выхода в область транс4инитнкх объектов (трансфинитных чисел). Когда речь идет о бесконечности, писал он, только натуральный ряд целых поло­жительных чисел 1,2,3,... дает совершенно ясное и положительное изображение. «Понятие не­счетной бесконечности является чистоотрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства «от противного», не соответствует никакой достижимой реальности и меняется   от поля к полю» [7;441]. Речь идёт здесь о поле условно принятых законов математического исследования, и, следовательно, об условности су­ществования тех или иных объектов по отношению к такому полю.

Поясним приведенную мысль Лузина на конкретном примере. Если мы располагаем, например, вполне упорядоченным бесконечным множест­вом

         (мнготочие),

то, согласно Лузину, мы имеем право рассматривать его в качестве актуально заданного и характеризовать бесконечным порядковым числом , потому что оно подобно натуральному ряду чисел

               1,2,...,n,...

с тем же порядковым числом. Но допустим теперь, что мы имеем такой вид порядка на бесконечном множестве:

               

           


Тогда, согласно канторовой теории множеств, множество   будет характеризоваться порядковым числом ;  множеству    мы поставим в соответствие порядковое число   и т.д. Приходится соглашаться, что каждое из этих множеств счётно, но вот какая, по автору, здесь возникает трудность: чтобы констатировать для нас самих, что рассматриваемое вполне упорядоченное множество счётно, необходимо уже иметь пред­ставление о трансфинитном числе, соответствующем этому множеству; и без такого представления не обойтись. «В природе нет конкретных вполне упорядоченных множеств, которые соответствуют трансфинитным числам, превосходящим ; такое множество есть всегда вторичный результат активности человеческого ума. Таким образом, всякое усилие, сделанное для того, чтобы подставить вместо трансфинитного числа вполне упорядоченное счетное множество, предполагая его счётность констатированной, располагает вещи в порядке, противоположном тому, которому нужно было бы следовать, и является в некотором смысле petitio principii»[7;33].

Другими словами, если мы хотим судить о том, что существует ли, скажем, счётное упорядоченное множество

                      

мы должны априори полагать, что существует трансфинитное кардинальное число  Но тогда возникает и следующий вопрос: на чем же основана уверенность в актуальном существовании натурального ряда чисел 1,2,...,n,..., характеризуемого числом ? Ведь в при­роде мы не найдем и такого вполне упорядоченного множества. Ответ, даваемый на этот вопрос представителями московской математической школы, из которой вышел и Н.Н. Лузин, состоит в том, что актуально заданный ряд натуральных чисел представляет собой на языке математи­ки связь между чувственной (эмпирической) и сверхчувственной реаль­ностями.

С этой точки зрения эмпиризм в математике является, в конечном счете, порочной тенденцией в развитии этой науки, ибо заведомо отгра­ничивает творческую мысль математика от идеальных объектов сверх­чувственной внеэмпирической интуиции.

III. 8.7.40

1. А.А.Марков /1903-1979/ считается создателем школы кон­структивной математики в CCCР.

2. Открытие неиндуктивных свойств натуральных чисел связано непосредственно с созданием не-архимедова анализа математики. Их выявление обусловлено открытием нестандартных моделей арифметики. Здесь не место обсуждать полный спектр вопросов о взаимоотношениях формальных систем и тех моделей, на которых они интерпретируются. Скажем только следующее. Поскольку формальная система получается, как правило, в результате формализации (и аксиоматизации, конечно) некоторых разделов обычной неформальной или полуформальной матема­тики, то знаки (символы), формулы и прочие элементы такой формальной системы истолковываются (интерпретируются) в терминах соответствую­щей неформальной или полуформальной математической дисциплины. Сово­купность значений, приписанных таким образом символам, формулам и прочим элементам формальной системы, называется ее (подразумеваемой, или естественной) интерпретацией.

Если формальная или полуформальная аксиоматика описывает какой-то раздел содержательной математики достаточно полно, так что данный раздел служит единственной моделью в качестве интерпретации, тогда аксиоматика называется категоричной. (Свойство категоричности не исключает того обстоятельства, что единственность модели задается с точностью до изоморфизма: все изоморфные модели отождествляются между собой). Как известно, полуформальная система арифметических аксиом Пеано считается полной в смысле категоричности. Но она неизбежно становится некатегоричной при формализации. Высказывание «Фор­мальная арифметика неполна в смысле теорем неполноты Гёделя» имеет еще и тот смысл, что формализованной аксиоматике Пеано удовлетворяет, по крайней мере, две разные модели: одна обычная, или стандартная, и одна нестандартная.

Нестандартная модель арифметики и легла в основу нестандартного, или неархимедова анализа, описывающего не-индуктивные свойства чисел.

Главная цель интерпретации формальной аксиоматики состоит в том, чтобы, установив ее формальную непротиворечивость, выяснить затем, насколько она полна, т.е. насколько множество доказуемых утверждений-формул соответствует множеству содержательно истинных высказываний, или теорем, формализуемой дисциплины. Если формальная аксиоматичес­кая система противоречива, то она тривиально полна, т.е. из нее можно вывести любое утверждение - истинное и ложное - выразимое на ее языке.

В 1931 г. К. Гёдель доказал две теоремы (теоремы неполноты), которые гласят:

1) если формальная система арифметики непротиворечива, то она не­полна, т.е. на ее языке может быть представлено такое утверждение, которое содержательно истинно, но недоказуемо средствами данной системы;

2) доказать внутренними средствами формальной арифметической аксиома­тики ее непротиворечивость невозможно.

   В центре этих теорем оказались как раз индуктивное определение натурального числа и принцип (аксиома) математическое индукции. На­помним формулировку этих положений. "Рабочая" формулировка принципа математической индукции сводится к следующему:

Утверждениесправедливодлявсякогонатуральногочисла n, если: 1) оно справедливо для n=1 (илиn=0) и 2) изсправедливости утверждениядля какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

В такой формулировке принцип математическое индукции является, по существу, следствием индуктивного определения натурального числа, состоящего из трех пунктов: (1) 1 (или 0) является натуральным числом;  (2) если n — натуральное число, то следующее за n,  т.е. n'=n+1 — тоже натуральное число; (3) никаких других чисел, кроме тех, которые получаются согласно (1) и (2), нет.

В формальной арифметической аксиоматике принцип математической индукции дается в виде следующей аксиомной схемы (в дальнейшем для краткости будем называть ее просто аксиомой):

                                                                      (*)

Теперь оказывается, что данная аксиома может выступать в ряду других аксиом формальной арифметики в двойном обличье: 1) в качестве мате­матической гипотезы; 2) в качестве математической теоремы. Разъясним, что здесь понимается под гипотезой и теоремой. Гипотеза - это такое утверждение относительно множества объектов, которое заведомо верно для каждого элемента собственного подмножества этого множества[1], но неизвестно, справедливо ли оно для любого элемента множества [8;  27-28]. Если исходное множество конечно, тогда процедура, с помощью которой гипотеза превращается в теорему, или отбрасывается как ложная, сводится к проверке каждого элемента множества. Если же исходное множество является бесконечным, тогда для превращения гипотезы в теорему прибегают к средствам математической индукции или к методу доказательства от противного или еще к каким-то другим методам, признанным общезначимыми.

Допустим теперь, что мы имеем некоторую гипотезу, состоящую в
утверждении A относительно множества натуральных чисел 1,2,3,...,n,.... Допустим далее, что эта гипотеза подтверждается методом математической индукции, так что оказываются верными все утверждения вида A(1),A(2),...,A(n),... Тогда гипотеза A окажется теоремой, если рассматриваемое множество числовых объектов образуется строго в соответствии с определением натурального числа, даваемого в трёх пунктах, и останется гипотезой, если в исследуемом множестве ока­жутся некоторые "чужеродные" элементы. В последнем случае смысл квантора "для всякого" не будет совпадать со смыслом квантора "для всех", и допустима ситуация, когда окажутся верными утверждения такого рода:

                                 

       т.е. истинны все утверждения A(1),A(2),...,A(n),… и в то же время утверждение A истинно не для всех объектов рассматриваемого множества. Поскольку такая ситуация не приводит к несовместимости или противоречивости[2] формальной арифметической системы аксиом, она дает право ввести в рассмотрение нестандартную интерпретацию фор­мальной арифметики наряду со стандартной.

При нестандартной интерпретации арифметики множество числовых объектов, родственных натуральным числам, расширяется так, что для него аксиома индукции оказывается неверной. Суть расширения состоит в том, что язык формальной системы арифметики дополняется нуль-мест­ным символом(термом) c, который при интерпретации удовлетворяет условию с>0, с>1, ... с>n, …. и пополняет формальную систему счётным множеством соответствующих формул. Число с оказывается, таким образом, больше любого конечного натурального числа и поэтому называется бесконечным. Оно влечет за собой множество бесконечных не-канторовых чисел с+1, с+2, с+3,...,c+n,..., которым присвое­но название гипернатуральных чисел.

Исходя из этих даже беглых замечаний, можно уже кое-что сказать о дихотомии индуктивных и не-индуктивных свойств целых положительных чисел (или целых неотрицательных чисел). Ясно, что индуктивные свой­ства этих чисел выявляются в их внутренних взаимоотношениях. Неиндуктивные свойства могут быть раскрыты в их взаимоотношениях с гипер­натуральными (бесконечными) числами. Как известно, многие свойства натуральных чисел удается раскрыть в аналитической теории чисел, т.е. средствами математического анализа. Аналогично, неиндуктивные свой­ства в наиболее полном объеме исследуются средствами нестандартного, или не-архимедова, анализа.

Наличие бесконечно больших чисел в неархимедовом анализе ав­томатически приводит, с учетом известных арифметических операций, к выводу о существовании чисел бесконечной малости (достаточно, скажем, разделить единицу на бесконечно большое число, чтобы получить делаемое). Понятия бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые справедливо отождествляются с дифференциалами Лейбница, суть центральные понятия как в аксиоматике неархимедова анализа, так и неархимедовой геометрии.

Здесь недостаточно места для того, чтобы привести конкретные примеры неиндуктивных свойств чисел в рамках нестандартного анализа, но все же стоит сказать несколько слов о самом анализе. На языке геометрии различие между стандартной и нестандартной аксиоматиками анализа определяется отношением к аксиоме Архимеда, называемой еще аксиомой измерения. Как известно, она утверждает, что для любых двух отрезков  и  можно меньший из них (a)   отложить столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (b). «Отложить столько" здесь непременно означает "конечное число" раз при условии, что отрезок (a) может быть сколь угодно мал: допустимо неограниченное деление его на меньшие части [10; 87].

На протяжений многовековой истории развития математики постулат Архимеда считался настолько самоочевидным, что над альтернативами ему редко кто задумывался всерьез. В выпущенных в I899 г. «Основаниях геометрии» Д.Гильберт изучал возможности построения неархимедовой геометрии, но не сделал попытки распространить ее принципы на математический анализ. Поэтому нестандартный анализ, возникший всего лишь 2-3 десятилетия тому назад - пока что непривычная идеология в математике, хотя ее истоки восходят еще к Лейбницу. Принципиальный момент нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые в нем рассматриваются не как переменные величины, сколь угодно при­ближающиеся к нулю, а как величины постоянные. (Подробнее см. в [9]).

   В заключение выделим из всего здесь сказанного и подчеркнем один очень важный момент. Может возникнуть иллюзия, что объекты не­стандартного анализа - бесконечно большие и бесконечно малые числа, - могли бы быть введены в сферу математического исследования путем изобретения соответствующих логико-математических определений. На самом деле такие определения суть ничто до тех пор, пока не выяснены условия существования того, что дается определениями. Объекты не­стандартного анализа получают право на существование при открытии нестандартной модели арифметики. По мере открытия других нестандарт­ных моделей могут быть обнаружены и исследованы другие классы неин­дуктивных свойств целых положительных чисел. Вопрос изучается в тео­рии математических моделей.

Но каждая из нестандартных моделей получает статус своего су­ществования только в комплексе со стандартной моделью арифметики, в комплексе с аксиомой о существовании (актуальной) бесконечности, задаваемой в форме бесконечного ряда натуральных чисел. Критикуя финитистские установки Д.Гильберта в программе формального обосно­вания всей математики, Н.Н.Лузин писал, что отмежеваться от беско­нечного можно тогда, когда мысль направлена на внешний мир, можно и тогда, когда она направлена на упорядочивание <готовых> концепций, но этого сделать нельзя, когда мысль направлена на самое себя; со­творение концепций есть иррациональный акт: «хотеть, чтобы он был "конечным" - это значит желать, чтобы он перестал быть самим собой» [7;516-517].

3)«Я думаю, что смутное, очень трудное созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел...».

Расшифровывая данное замечание Лузина, мы можем, используя язык нестандартного анализа, говорить о связи между гиперпространством и гипердействительными числами. Попытку проанализировать структуру такой связи сделал П. Флоренский в своей книге "Мнимости в геометрии" [3;33). Посмотрим, как далеко можно продвинуться в дан­ном направлении.

Из практики геометрических исследований известно, что имеют геометры в виду, когда вводят понятие трехмерного пространства. Обычно начинают с определения поверхностей как границ тел или кусков прос­транства, линий - как границ поверхностей, наконец, точек - как гра­ниц линий и устанавливают, что этот процесс не может быть проведен дальше. Он определяется в терминах последовательных переходов от од­ного континуума к другому до тех пор, пока не доходят до точки, не являющейся континуумом.

Ход в обратном направлении дает возможность определить, как это делает А.Пуанкаре, континуум одного, двух и трех измерений. Тот кон­тинуум, который разбивается на части множеством, не являющимся конти­нуумом, называется одномерным, тот континуум, который в свою очередь разбивается на части одномерным континуумом, называется двухмерным, от двухмерного совершается переход к трехмерному [11; 22]. Логически можно было бы двигаться и дальше, остановка же на трехмерном континуу­ме, или континууме трехмерного пространства, обусловливается эмпири­ческими соображениями. Их обычно не принимают в расчет и говорят об n-мерных евклидовых пространствах, когда

n=1,2,3,.... Иссле­дования континуума, проведенные Г.Кантором, показали, что множество точек на линии и множество точек на плоскости равномощны, т.е. между двумя этими множествами существует взаимно однозначное соответствие. Открытие этого факта  свидетельствует о том, что нельзя установить разницу между n-мерным и m-мерным ( ) евклидовыми пространствами, опираясь на понятие мощности каждого из таких множеств.

Еще более удивительным оказалось то обстоятельство, что, как показал Пеано, существует возможность непрерывного отображения (точек) геометрического отрезка на квадрат. Ведь это наводит на вы­вод, что размерность пространства может возрастать при непрерывных однозначных отображениях. Если бы оказалось, что такое отображение гомеоморфно, т.е. свойствами непрерывности обладают как прямое, так и обратное ему взаимно однозначные отображения, размерность простран­ства нельзя было бы вообще изучать топологическими методами. Чрез­вычайно важный вопрос, негативный ответ на который дал Брауэр в 1911г., состоял, как пишут авторы книги [11], в следующем: воз­можно ли при    между n-мерным эвклидовым пространством (обычным пространством n действительных переменных) и m-мерным эвклидовым пространством установить соответствие, соединяющее свойство конструкций Кантора и Пеано, т.е. соответствие, которое одновременно взаимно однозначно и непрерывно? «Этот вопрос был критическим, так как существование между -мерным и -мерным эвклидовыми пространствами соответствия указанного типа показало бы, что размерность (в том естественном смысле, что -мерное эвклидово пространство имеет размерность ) не имеет никакого топологического значения! Класс топологических отображений оказал­ся бы, следовательно, слишком широким, для того чтобы он мог иметь какое-либо реальное применение в геометрии" [11; 23].

Короче говоря, гомеоморфизм между эвклидовыми пространствами разной размерности означал бы их топологическую неразличимость в том же смысле, в каком квадрат топологически неотличим от окружнос­ти. Однако исследованиями Брауэра (1911–1913) и Лебега (I9II) было окончательно установлено, что размерность эвклидова пространства не меняется при топологических преобразованиях [11;24]. Дальней­шие попытки разобраться в свойстве пространства, соотносимом с его размерностью, были направлены на установление связи между этим свойством и метрическоймерой пространственного многообразия. В теории меры мера множества вводится именно как понятие, обобщающее представление о длине отрезка, площади плоской фигуры и объема тала на множества более общей природы. Так, скажем, плоская мера, или мера в смысле Жордана, есть не что иное, как определенная пло­щадь квадрируемой области. Более обобщенное понятие - мера Лебега - вводится для характеристики как множеств, лежащих на плоскости, так и множеств, расположенных на прямой или в трехмерном (или – -мерном). пространстве. Лебеговский метод ограничения множеств аналогичен, таким образом, известному с античных времен методу квадрирования плоских фигур.

   Три важнейшие свойства меры в классической теории определяются следующими высказываниями: (1) мера любого множества неотрицатель­на; (2) мера конечной или счетной системы попарно непересекающихся множеств равна сумме их мер; (З) при перемещении множества как твердого тела его мера не меняется.

Интуитивно восприятие размерности пространства коррелируется с восприятием одномерных, двухмерных и трехмерных объектов, т.е. объектов, наделенных только линейной мерой - длиной, объектов, на­деленных двумерной мерой - площадью, и объектов, наделенных трех­мерной мерой - объемом. Для нас здесь важно подчеркнуть, что до исследований Флоренского, как бы ни обобщалось понятие меры, за пел всегда оставляли свойство быть неотрицательной величиной. Флоренский же показал, что плоская мера может быть отрицательной, правда искать её надо, вопреки его предположениям, в не-эвклидовом пространстве.

 

IV. 30.10.40

1) Критика эйнштейновской теории относительности и концепции времени в ней ведётся с разных позиций. Есть критики, которые отвергают преобразования Лоренца и полагают, что всю современную физику, занятую описанием процессов, протекающих с околосветовыми скоростями, можно построить, тем не менее, на базе преобразований Галилея. Лузин, несомненно, не относился к числу таких ниспровергателей. Его критическая позиция, насколько можно видеть уже из писем, близ­ка к той серьезной критике теории относительности, которую привел в одной из своих статей К.Гёдель [12;557-562].

Сравнивая аргументы Лузина с более развернутой аргументацией Гёделя, можно сделать вывод о том, что среди крупнейших ученых ХХ столетия - математиков и физиков - было достигнуто некоторое единодушие в оценке абсурдной, в ряде аспектов, идеологии теории относительности.

Изложим в сжатой форме критический анализ Гёделя. Он касается, в первую очередь, релятивистской точки зрения на природу времени. Принимая во внимание инерциальные системы отсчета специальной тео­рии относительности, Гёдель излагает релятивистскую версию того, как воспринимается, сквозь призму теории, временная последователь­ность событий наблюдателями в разных системах отсчета. Относитель­ность одновременности событий, говорит Гёдель, в огромной степени влечет относительность их последовательности. Неизменный характер последовательности событий, скажем, В     после А,       остается неиз­менным во всех системах отсчета только в том случае, если события (А) и (В) причинно связаны друг с другом так, что А    является причиной В.  (Скорость передачи причинного воздействия одного со­бытия на другое не превышает, согласно теории относительности, ско­рости света). Во всём остальном царит полный релятивистский произвол. Одновременность событий А   и В   в одной системе отсчета может фик­сироваться наблюдателем в другой системе отсчёта в последователь­ности " А   раньше В", в третьей системе - "В   раньше А", не говоря уже о целом спектре различных значений отрезка времени, про­текшего между А   и В.

Что всё это означав с логической и физической точек зрения? Принято считать, указывает Гёдель, что всякие изменения в окружаю­щей реальности возможны лишь благодаря течению времени. Существование же объективного течения времени эквивалентно тому факту, что реальность состоит из бесконечного количества слоев "теперь" (се­чений временного потока), которые приходят в существование после­довательно. "Но если, - пишет он, - одновременность есть нечто от­носительное в только что объясненном смысле, реальность не может расщепиться на такие слои объективно детерминированным способом. Каждый наблюдатель имеет свое собственное множество "теперь", и ни одна их этих разных систем слоев не может претендовать на пред­ставление объективного течения времени" [12; 558].

Могут, конечно, возразить, подытоживает свою аргументацию в этом пункте Гёдель, что относительность течения времени не исклю­чает его объективности. Однако понятие относительного течения вре­мени лишается того обычного понимания временного хода, который озна­чает изменение существования. "Понятие же существования не может быть релятивизировано без того, чтобы не был полностью разрушен его смысл" [12; 558].

Тайна "спекулятивной конструкции" теории относительности, на которой заострял внимание Лузин, состоит, с одной стороны, в гео­метризации времени, а с другой - в овременении пространственной протяженности. Эта подмена одного другим в специальной теории отно­сительности[3] (СТО) приобретает черты научного суррогата в общей теории относительности (ОТО), претендующей на то, чтобы быть реля­тивистской теорией гравитации. И, может быть, настала пора сказать об этом суррогате вслух.

   Дело заключается в следующем. Совершенно правомерна попытка описать гравитационные взаимодействия по методу близкодействия с помощью поля, распространяющегося в пространстве от точки к точке со скоростью, не превышающей скорость света (в вакууме). Но совер­шенно порочной оказалась идея распространить эти принципы на силы инерции, отождествив последние с силами гравитации. Вероятно, последние носят локальный характер. Но этого нельзя сказать о первых. Компетентные физики всегда подчеркивают существенное раз­личие между одними и другими. Академик Л.И.Седов писал, что по сво­им физическим проявлениям силы инерции эквивалентны силам тяжести. Но если руководствоваться третьим динамическим законом Ньютона о силах действия и противодействия, то силу противодействия, как ре­акцию на внешние силы инерции, нельзя приложить к массам и полям внутри Солнечной системы, в которой выделяется инерциальная гелио­центрическая система координат [13;12-13].

Нельзя, стало быть, найти адресат инерциальной силы в преде­лах Солнечной системы, но его не найти и в пределах нашей Галакти­ки, и внутри Метагалактики как части эмпирически наблюдаемой Вселенной. Инерция - это стремление физических тел двигаться по геодезическим линиям, концы которых уходят за космологический го­ризонт Вселенной. Геометрическим аналогом космологического горизон­та Вселенной служат в отношении всякой геодезической "прямой" две лежащие на ней бесконечно удаленные вещественные точки, посред­ством которых, с использованием двойного отношения, вводится про­цедура мероопределения в неэвклидовой геометрии. Как уже говорилось в примечании 2 к первому письму Лузина, вещественному значению расстояния между произвольными точками геодезической линии соответ­ствует гиперболическая геометрия.

    Геометрическая структура мира дается нам, таким образом, в зависимости от характера метрики. Наш метрический опыт - опыт вы­ражения пространственных расстояний вещественными числами - сви­детельствует о том, что мы живем в мегамире, подчиняющемся законам гиперболической геометрии. А эти законы, в свою очередь, говорят о том, что наряду с наблюдаемой частью Вселенной имеется скрытая от прямого наблюдения часть. Ф.Клейн разъясняет это положение так:

   Гиперболическая геометрия наделяет прямую двумя бесконеч­но удаленными точками. О том, существует ли по ту сторону обеих бесконечно удаленных точек еще один участок прямой, дополняю­щий до замкнутой линии участок, лежащий в конечной области, сказать ничего нельзя, так как наши движения никогда не дово­дят нас до бесконечно удаленных точек, не говоря уже о том, чтобы вывести за их пределы. Во всяком случае можно присоеди­нить такой участок как мысленную, идеальную часть прямой ли­нии [2; 268].

Математика не считается с нашими эмпирическими движениями. Неэвклидова геометрия даёт необходимый вывод о том, что плоскость Лобачевского является двусторонней, двусторонне ориентированной, так что двойником вещественной геодезической линии на одной её стороне выступает мнимая геодезическая на другой стороне. Этими линиями отображается отношениемежду на­блюдаемой и скрытой частями единой Вселенной. Локальный вариант по­добного отношения изучается в астрофизике на примере шварцшильдовского уравнения, описывающего метрику пространства-времени внутри черной дыры: при переходе так называемой сферы Шварцшильда, служащей ло­кальным аналогом космологического горизонта Вселенной, радиус черной дыры становится мнимым. То же касается и трансформации времени.

В общей теории относительности характеристики мировых линий -в первую очередь их кривизна – ставятся в зависимость от распре­деления и движения наблюдаемой материи. Пространство как самостоя­тельная сущность исчезает, оно просто превращается в характеристику состояния космологической материи. Из-за отождествления инерции и гравитации разделение инерциальных и гравитационных сил становится условным. Можно было бы ввести в ОТО понятие единого мирового време­ни как времени, интегрирующего местные времена всех тех наблюдателей, которые следуют в своем движении среднему движению материи. Так де­лают при нестационарных решениях уравнений ОТО, и тогда снова дости­гают сведения пространственной протяженности ко времени по типу того, что имеет место mutatis mutandis    в ОТО.

Однако, как показал Гёдель, все такие решения уравнений ОТО и их интерпретации являются искусственными, натянутыми, потому что нет никакого критерия, по которому их можно было бы выделить среди более экзотических решений. Одно из них - роторное решение с расширением Вселенной - приведено самим Гёделем. В нем время оказывается замкну­тым - вывод, приводящий к абсурду. Абсурд раскрывается в возможности человека совершить путешествие в свое прошлое и внести в свое пове­дение в прошлом такие изменения, которые несовместимы, с его памятью о прошлом [12; 561]. Разрушение же памяти человека равноценно раз­рушению его личности.

Такого рода критический анализ теории относительности, по-види­мому, и давал   основание Лузину утверждать, что в идеях Эйнштейна "есть многое, относящееся скорее к "министерству пропаганды", чем к скромной добросовестной мысли ученого".

Литература

1.         Лузин H.Н. Современное состояние функции действительного пере­менного. М.-Л., 1933.

2.         Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. - Об основаниях геометрии. М., 1956.

3. Флоренский П. Мнимости в геометрии. М.:"Лазурь",1991, 2-е изд.

4. См. письмо П.А.Флоренского К.Д. Флоренскому. - Вопросы истории естествознания и техники, 1988,№ 1.

5.  Brouwer L.E.J. Collected works, vol.I, Amsterdam–Oxford,1975

6. Рашевский П.K. "Основания геометрии" Гильберта и их место в историческом развитии вопроса. - В кн.: Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948.

7. Лузин Н.Н. Собрание сочинений, т.II. М.,1958.

8. Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. М., 1992.

9. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ. М., 1987.

10.                      Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948.

11. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. М., 1948.

12. Gödel K. A remark about between relativity theory and idealistic philosophy.–In: Albert Einstein: philosopher–scientist. Evanston, Illinois,1949.

13. Седов Л.И. Размышления о науке и об учёных, М., 1980.

14. Некрасов П.А. Московская философско-математическая школа и её основатели. – Математический сборник, т.25, вып. I, М., 1904.

15. Флоренский П.А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания». - Историко-математические исследования,вып.   XXX. М., 1986.

16. Вернадский В.И. "Царство моих идей впереди". - Природа, 1990, № 6.

 

 

 

 

 

 

 



[1] Мы называем непустое подмножество М множества N собственным, если оно не совпадает с самим N.

[2] О различии и тождестве понятий совместимости и непротиворечивости см. в работе В.А. Успенского [9; 75–79].

[3] В каких пределах допустимо отождествление того и другого в СТО, мы сейчас оставляем в стороне. Каждый для себя может выяснить, что он теряет, переходя из системы единиц LMT в систему единиц LM.