Н.Н. Лузин: письма В.И. Вернадскому

Тогда, согласно канторовой теории множеств, множество   будет характеризоваться порядковым числом ;  множеству    мы поставим в соответствие порядковое число   и т.д. Приходится соглашаться, что каждое из этих множеств счётно, но вот какая, по автору, здесь возникает трудность: чтобы констатировать для нас самих, что рассматриваемое вполне упорядоченное множество счётно, необходимо уже иметь пред­ставление о трансфинитном числе, соответствующем этому множеству; и без такого представления не обойтись. «В природе нет конкретных вполне упорядоченных множеств, которые соответствуют трансфинитным числам, превосходящим ; такое множество есть всегда вторичный результат активности человеческого ума. Таким образом, всякое усилие, сделанное для того, чтобы подставить вместо трансфинитного числа вполне упорядоченное счетное множество, предполагая его счётность констатированной, располагает вещи в порядке, противоположном тому, которому нужно было бы следовать, и является в некотором смысле petitio principii»[7;33].

Другими словами, если мы хотим судить о том, что существует ли, скажем, счётное упорядоченное множество

мы должны априори полагать, что существует трансфинитное кардинальное число  Но тогда возникает и следующий вопрос: на чем же основана уверенность в актуальном существовании натурального ряда чисел 1,2,...,n,..., характеризуемого числом ? Ведь в при­роде мы не найдем и такого вполне упорядоченного множества. Ответ, даваемый на этот вопрос представителями московской математической школы, из которой вышел и Н.Н. Лузин, состоит в том, что актуально заданный ряд натуральных чисел представляет собой на языке математи­ки связь между чувственной (эмпирической) и сверхчувственной реаль­ностями.

С этой точки зрения эмпиризм в математике является, в конечном счете, порочной тенденцией в развитии этой науки, ибо заведомо отгра­ничивает творческую мысль математика от идеальных объектов сверх­чувственной внеэмпирической интуиции.

III. 8.7.40

1. А.А.Марков /1903-1979/ считается создателем школы кон­структивной математики в CCCР.

2. Открытие неиндуктивных свойств натуральных чисел связано непосредственно с созданием не-архимедова анализа математики. Их выявление обусловлено открытием нестандартных моделей арифметики. Здесь не место обсуждать полный спектр вопросов о взаимоотношениях формальных систем и тех моделей, на которых они интерпретируются. Скажем только следующее. Поскольку формальная система получается, как правило, в результате формализации (и аксиоматизации, конечно) некоторых разделов обычной неформальной или полуформальной матема­тики, то знаки (символы), формулы и прочие элементы такой формальной системы истолковываются (интерпретируются) в терминах соответствую­щей неформальной или полуформальной математической дисциплины. Сово­купность значений, приписанных таким образом символам, формулам и прочим элементам формальной системы, называется ее (подразумеваемой, или естественной) интерпретацией.

Если формальная или полуформальная аксиоматика описывает какой-то раздел содержательной математики достаточно полно, так что данный раздел служит единственной моделью в качестве интерпретации, тогда аксиоматика называется категоричной. (Свойство категоричности не исключает того обстоятельства, что единственность модели задается с точностью до изоморфизма: все изоморфные модели отождествляются между собой). Как известно, полуформальная система арифметических аксиом Пеано считается полной в смысле категоричности. Но она неизбежно становится некатегоричной при формализации. Высказывание «Фор­мальная арифметика неполна в смысле теорем неполноты Гёделя» имеет еще и тот смысл, что формализованной аксиоматике Пеано удовлетворяет, по крайней мере, две разные модели: одна обычная, или стандартная, и одна нестандартная.

Нестандартная модель арифметики и легла в основу нестандартного, или неархимедова анализа, описывающего не-индуктивные свойства чисел.

Главная цель интерпретации формальной аксиоматики состоит в том, чтобы, установив ее формальную непротиворечивость, выяснить затем, насколько она полна, т.е. насколько множество доказуемых утверждений-формул соответствует множеству содержательно истинных высказываний, или теорем, формализуемой дисциплины. Если формальная аксиоматичес­кая система противоречива, то она тривиально полна, т.е. из нее можно вывести любое утверждение - истинное и ложное - выразимое на ее языке.

В 1931 г. К. Гёдель доказал две теоремы (теоремы неполноты), которые гласят:

1) если формальная система арифметики непротиворечива, то она не­полна, т.е. на ее языке может быть представлено такое утверждение, которое содержательно истинно, но недоказуемо средствами данной системы;

2) доказать внутренними средствами формальной арифметической аксиома­тики ее непротиворечивость невозможно.

   В центре этих теорем оказались как раз индуктивное определение натурального числа и принцип (аксиома) математическое индукции. На­помним формулировку этих положений. "Рабочая" формулировка принципа математической индукции сводится к следующему:

Утверждениесправедливодлявсякогонатуральногочисла n, если: 1) оно справедливо для n=1 (илиn=0) и 2) изсправедливости утверждениядля какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

В такой формулировке принцип математическое индукции является, по существу, следствием индуктивного определения натурального числа, состоящего из трех пунктов: (1) 1 (или 0) является натуральным числом;  (2) если n — натуральное число, то следующее за n,  т.е. n'=n+1 — тоже натуральное число; (3) никаких других чисел, кроме тех, которые получаются согласно (1) и (2), нет.

В формальной арифметической аксиоматике принцип математической индукции дается в виде следующей аксиомной схемы (в дальнейшем для краткости будем называть ее просто аксиомой):

                                                                      (*)

Теперь оказывается, что данная аксиома может выступать в ряду других аксиом формальной арифметики в двойном обличье: 1) в качестве мате­матической гипотезы; 2) в качестве математической теоремы. Разъясним, что здесь понимается под гипотезой и теоремой. Гипотеза - это такое утверждение относительно множества объектов, которое заведомо верно для каждого элемента собственного подмножества этого множества[1], но неизвестно, справедливо ли оно для любого элемента множества [8;  27-28]. Если исходное множество конечно, тогда процедура, с помощью которой гипотеза превращается в теорему, или отбрасывается как ложная, сводится к проверке каждого элемента множества. Если же исходное множество является бесконечным, тогда для превращения гипотезы в теорему прибегают к средствам математической индукции или к методу доказательства от противного или еще к каким-то другим методам, признанным общезначимыми.

Допустим теперь, что мы имеем некоторую гипотезу, состоящую в
утверждении A относительно множества натуральных чисел 1,2,3,...,n,.... Допустим далее, что эта гипотеза подтверждается методом математической индукции, так что оказываются верными все утверждения вида A(1),A(2),...,A(n),... Тогда гипотеза A окажется теоремой, если рассматриваемое множество числовых объектов образуется строго в соответствии с определением натурального числа, даваемого в трёх пунктах, и останется гипотезой, если в исследуемом множестве ока­жутся некоторые "чужеродные" элементы. В последнем случае смысл квантора "для всякого" не будет совпадать со смыслом квантора "для всех", и допустима ситуация, когда окажутся верными утверждения такого рода:

       т.е. истинны все утверждения A(1),A(2),...,A(n),… и в то же время утверждение A истинно не для всех объектов рассматриваемого множества. Поскольку такая ситуация не приводит к несовместимости или противоречивости[2] формальной арифметической системы аксиом, она дает право ввести в рассмотрение нестандартную интерпретацию фор­мальной арифметики наряду со стандартной.

При нестандартной интерпретации арифметики множество числовых объектов, родственных натуральным числам, расширяется так, что для него аксиома индукции оказывается неверной. Суть расширения состоит в том, что язык формальной системы арифметики дополняется нуль-мест­ным символом(термом) c, который при интерпретации удовлетворяет условию с>0, с>1, ... с>n, …. и пополняет формальную систему счётным множеством соответствующих формул. Число с оказывается, таким образом, больше любого конечного натурального числа и поэтому называется бесконечным. Оно влечет за собой множество бесконечных не-канторовых чисел с+1, с+2, с+3,...,c+n,..., которым присвое­но название гипернатуральных чисел.

Исходя из этих даже беглых замечаний, можно уже кое-что сказать о дихотомии индуктивных и не-индуктивных свойств целых положительных чисел (или целых неотрицательных чисел). Ясно, что индуктивные свой­ства этих чисел выявляются в их внутренних взаимоотношениях. Неиндуктивные свойства могут быть раскрыты в их взаимоотношениях с гипер­натуральными (бесконечными) числами. Как известно, многие свойства натуральных чисел удается раскрыть в аналитической теории чисел, т.е. средствами математического анализа. Аналогично, неиндуктивные свой­ства в наиболее полном объеме исследуются средствами нестандартного, или не-архимедова, анализа.

Наличие бесконечно больших чисел в неархимедовом анализе ав­томатически приводит, с учетом известных арифметических операций, к выводу о существовании чисел бесконечной малости (достаточно, скажем, разделить единицу на бесконечно большое число, чтобы получить делаемое). Понятия бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые справедливо отождествляются с дифференциалами Лейбница, суть центральные понятия как в аксиоматике неархимедова анализа, так и неархимедовой геометрии.

Здесь недостаточно места для того, чтобы привести конкретные примеры неиндуктивных свойств чисел в рамках нестандартного анализа, но все же стоит сказать несколько слов о самом анализе. На языке геометрии различие между стандартной и нестандартной аксиоматиками анализа определяется отношением к аксиоме Архимеда, называемой еще аксиомой измерения. Как известно, она утверждает, что для любых двух отрезков  и  можно меньший из них (a)   отложить столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (b). «Отложить столько" здесь непременно означает "конечное число" раз при условии, что отрезок (a) может быть сколь угодно мал: допустимо неограниченное деление его на меньшие части [10; 87].

На протяжений многовековой истории развития математики постулат Архимеда считался настолько самоочевидным, что над альтернативами ему редко кто задумывался всерьез. В выпущенных в I899 г. «Основаниях геометрии» Д.Гильберт изучал возможности построения неархимедовой геометрии, но не сделал попытки распространить ее принципы на математический анализ. Поэтому нестандартный анализ, возникший всего лишь 2-3 десятилетия тому назад - пока что непривычная идеология в математике, хотя ее истоки восходят еще к Лейбницу. Принципиальный момент нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые в нем рассматриваются не как переменные величины, сколь угодно при­ближающиеся к нулю, а как величины постоянные. (Подробнее см. в [9]).

   В заключение выделим из всего здесь сказанного и подчеркнем один очень важный момент. Может возникнуть иллюзия, что объекты не­стандартного анализа - бесконечно большие и бесконечно малые числа, - могли бы быть введены в сферу математического исследования путем изобретения соответствующих логико-математических определений. На самом деле такие определения суть ничто до тех пор, пока не выяснены условия существования того, что дается определениями. Объекты не­стандартного анализа получают право на существование при открытии нестандартной модели арифметики. По мере открытия других нестандарт­ных моделей могут быть обнаружены и исследованы другие классы неин­дуктивных свойств целых положительных чисел. Вопрос изучается в тео­рии математических моделей.

Но каждая из нестандартных моделей получает статус своего су­ществования только в комплексе со стандартной моделью арифметики, в комплексе с аксиомой о существовании (актуальной) бесконечности, задаваемой в форме бесконечного ряда натуральных чисел. Критикуя финитистские установки Д.Гильберта в программе формального обосно­вания всей математики, Н.Н.Лузин писал, что отмежеваться от беско­нечного можно тогда, когда мысль направлена на внешний мир, можно и тогда, когда она направлена на упорядочивание <готовых> концепций, но этого сделать нельзя, когда мысль направлена на самое себя; со­творение концепций есть иррациональный акт: «хотеть, чтобы он был "конечным" - это значит желать, чтобы он перестал быть самим собой» [7;516-517].

3)«Я думаю, что смутное, очень трудное созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел...».

Расшифровывая данное замечание Лузина, мы можем, используя язык нестандартного анализа, говорить о связи между гиперпространством и гипердействительными числами. Попытку проанализировать структуру такой связи сделал П. Флоренский в своей книге "Мнимости в геометрии" [3;33). Посмотрим, как далеко можно продвинуться в дан­ном направлении.

Из практики геометрических исследований известно, что имеют геометры в виду, когда вводят понятие трехмерного пространства. Обычно начинают с определения поверхностей как границ тел или кусков прос­транства, линий - как границ поверхностей, наконец, точек - как гра­ниц линий и устанавливают, что этот процесс не может быть проведен дальше. Он определяется в терминах последовательных переходов от од­ного континуума к другому до тех пор, пока не доходят до точки, не являющейся континуумом.

Ход в обратном направлении дает возможность определить, как это делает А.Пуанкаре, континуум одного, двух и трех измерений. Тот кон­тинуум, который разбивается на части множеством, не являющимся конти­нуумом, называется одномерным, тот континуум, который в свою очередь разбивается на части одномерным континуумом, называется двухмерным, от двухмерного совершается переход к трехмерному [11; 22]. Логически можно было бы двигаться и дальше, остановка же на трехмерном континуу­ме, или континууме трехмерного пространства, обусловливается эмпири­ческими соображениями. Их обычно не принимают в расчет и говорят об n-мерных евклидовых пространствах, когда

n=1,2,3,.... Иссле­дования континуума, проведенные Г.Кантором, показали, что множество точек на линии и множество точек на плоскости равномощны, т.е. между двумя этими множествами существует взаимно однозначное соответствие. Открытие этого факта  свидетельствует о том, что нельзя установить разницу между n-мерным и m-мерным ( ) евклидовыми пространствами, опираясь на понятие мощности каждого из таких множеств.

Еще более удивительным оказалось то обстоятельство, что, как показал Пеано, существует возможность непрерывного отображения (точек) геометрического отрезка на квадрат. Ведь это наводит на вы­вод, что размерность пространства может возрастать при непрерывных однозначных отображениях. Если бы оказалось, что такое отображение гомеоморфно, т.е. свойствами непрерывности обладают как прямое, так и обратное ему взаимно однозначные отображения, размерность простран­ства нельзя было бы вообще изучать топологическими методами. Чрез­вычайно важный вопрос, негативный ответ на который дал Брауэр в 1911г., состоял, как пишут авторы книги [11], в следующем: воз­можно ли при    между n-мерным эвклидовым пространством (обычным пространством n действительных переменных) и m-мерным эвклидовым пространством установить соответствие, соединяющее свойство конструкций Кантора и Пеано, т.е. соответствие, которое одновременно взаимно однозначно и непрерывно? «Этот вопрос был критическим, так как существование между -мерным и -мерным эвклидовыми пространствами соответствия указанного типа показало бы, что размерность (в том естественном смысле, что -мерное эвклидово пространство имеет размерность ) не имеет никакого топологического значения! Класс топологических отображений оказал­ся бы, следовательно, слишком широким, для того чтобы он мог иметь какое-либо реальное применение в геометрии" [11; 23].

Короче говоря, гомеоморфизм между эвклидовыми пространствами разной размерности означал бы их топологическую неразличимость в том же смысле, в каком квадрат топологически неотличим от окружнос­ти. Однако исследованиями Брауэра (1911–1913) и Лебега (I9II) было окончательно установлено, что размерность эвклидова пространства не меняется при топологических преобразованиях [11;24]. Дальней­шие попытки разобраться в свойстве пространства, соотносимом с его размерностью, были направлены на установление связи между этим свойством и метрическоймерой пространственного многообразия. В теории меры мера множества вводится именно как понятие, обобщающее представление о длине отрезка, площади плоской фигуры и объема тала на множества более общей природы. Так, скажем, плоская мера, или мера в смысле Жордана, есть не что иное, как определенная пло­щадь квадрируемой области. Более обобщенное понятие - мера Лебега - вводится для характеристики как множеств, лежащих на плоскости, так и множеств, расположенных на прямой или в трехмерном (или – -мерном). пространстве. Лебеговский метод ограничения множеств аналогичен, таким образом, известному с античных времен методу квадрирования плоских фигур.

   Три важнейшие свойства меры в классической теории определяются следующими высказываниями: (1) мера любого множества неотрицатель­на; (2) мера конечной или счетной системы попарно непересекающихся множеств равна сумме их мер; (З) при перемещении множества как твердого тела его мера не меняется.

Интуитивно восприятие размерности пространства коррелируется с восприятием одномерных, двухмерных и трехмерных объектов, т.е. объектов, наделенных только линейной мерой - длиной, объектов, на­деленных двумерной мерой - площадью, и объектов, наделенных трех­мерной мерой - объемом. Для нас здесь важно подчеркнуть, что до исследований Флоренского, как бы ни обобщалось понятие меры, за пел всегда оставляли свойство быть неотрицательной величиной. Флоренский же показал, что плоская мера может быть отрицательной, правда искать её надо, вопреки его предположениям, в не-эвклидовом пространстве.

IV. 30.10.40

1) Критика эйнштейновской теории относительности и концепции времени в ней ведётся с разных позиций. Есть критики, которые отвергают преобразования Лоренца и полагают, что всю современную физику, занятую описанием процессов, протекающих с околосветовыми скоростями, можно построить, тем не менее, на базе преобразований Галилея. Лузин, несомненно, не относился к числу таких ниспровергателей. Его критическая позиция, насколько можно видеть уже из писем, близ­ка к той серьезной критике теории относительности, которую привел в одной из своих статей К.Гёдель [12;557-562].

Сравнивая аргументы Лузина с более развернутой аргументацией Гёделя, можно сделать вывод о том, что среди крупнейших ученых ХХ столетия - математиков и физиков - было достигнуто некоторое единодушие в оценке абсурдной, в ряде аспектов, идеологии теории относительности.

Изложим в сжатой форме критический анализ Гёделя. Он касается, в первую очередь, релятивистской точки зрения на природу времени. Принимая во внимание инерциальные системы отсчета специальной тео­рии относительности, Гёдель излагает релятивистскую версию того, как воспринимается, сквозь призму теории, временная последователь­ность событий наблюдателями в разных системах отсчета. Относитель­ность одновременности событий, говорит Гёдель, в огромной степени влечет относительность их последовательности. Неизменный характер последовательности событий, скажем, В     после А,       остается неиз­менным во всех системах отсчета только в том случае, если события (А) и (В) причинно связаны друг с другом так, что А    является причиной В.  (Скорость передачи причинного воздействия одного со­бытия на другое не превышает, согласно теории относительности, ско­рости света). Во всём остальном царит полный релятивистский произвол. Одновременность событий А   и В   в одной системе отсчета может фик­сироваться наблюдателем в другой системе отсчёта в последователь­ности " А   раньше В", в третьей системе - "В   раньше А", не говоря уже о целом спектре различных значений отрезка времени, про­текшего между А   и В.

Что всё это означав с логической и физической точек зрения? Принято считать, указывает Гёдель, что всякие изменения в окружаю­щей реальности возможны лишь благодаря течению времени. Существование же объективного течения времени эквивалентно тому факту, что реальность состоит из бесконечного количества слоев "теперь" (се­чений временного потока), которые приходят в существование после­довательно. "Но если, - пишет он, - одновременность есть нечто от­носительное в только что объясненном смысле, реальность не может расщепиться на такие слои объективно детерминированным способом. Каждый наблюдатель имеет свое собственное множество "теперь", и ни одна их этих разных систем слоев не может претендовать на пред­ставление объективного течения времени" [12; 558].

Могут, конечно, возразить, подытоживает свою аргументацию в этом пункте Гёдель, что относительность течения времени не исклю­чает его объективности. Однако понятие относительного течения вре­мени лишается того обычного понимания временного хода, который озна­чает изменение существования. "Понятие же существования не может быть релятивизировано без того, чтобы не был полностью разрушен его смысл" [12; 558].

Тайна "спекулятивной конструкции" теории относительности, на которой заострял внимание Лузин, состоит, с одной стороны, в гео­метризации времени, а с другой - в овременении пространственной протяженности. Эта подмена одного другим в специальной теории отно­сительности[3] (СТО) приобретает черты научного суррогата в общей теории относительности (ОТО), претендующей на то, чтобы быть реля­тивистской теорией гравитации. И, может быть, настала пора сказать об этом суррогате вслух.

   Дело заключается в следующем. Совершенно правомерна попытка описать гравитационные взаимодействия по методу близкодействия с помощью поля, распространяющегося в пространстве от точки к точке со скоростью, не превышающей скорость света (в вакууме). Но совер­шенно порочной оказалась идея распространить эти принципы на силы инерции, отождествив последние с силами гравитации. Вероятно, последние носят локальный характер. Но этого нельзя сказать о первых. Компетентные физики всегда подчеркивают существенное раз­личие между одними и другими. Академик Л.И.Седов писал, что по сво­им физическим проявлениям силы инерции эквивалентны силам тяжести. Но если руководствоваться третьим динамическим законом Ньютона о силах действия и противодействия, то силу противодействия, как ре­акцию на внешние силы инерции, нельзя приложить к массам и полям внутри Солнечной системы, в которой выделяется инерциальная гелио­центрическая система координат [13;12-13].

Нельзя, стало быть, найти адресат инерциальной силы в преде­лах Солнечной системы, но его не найти и в пределах нашей Галакти­ки, и внутри Метагалактики как части эмпирически наблюдаемой Вселенной. Инерция - это стремление физических тел двигаться по геодезическим линиям, концы которых уходят за космологический го­ризонт Вселенной. Геометрическим аналогом космологического горизон­та Вселенной служат в отношении всякой геодезической "прямой" две лежащие на ней бесконечно удаленные вещественные точки, посред­ством которых, с использованием двойного отношения, вводится про­цедура мероопределения в неэвклидовой геометрии. Как уже говорилось в примечании 2 к первому письму Лузина, вещественному значению расстояния между произвольными точками геодезической линии соответ­ствует гиперболическая геометрия.

    Геометрическая структура мира дается нам, таким образом, в зависимости от характера метрики. Наш метрический опыт - опыт вы­ражения пространственных расстояний вещественными числами - сви­детельствует о том, что мы живем в мегамире, подчиняющемся законам гиперболической геометрии. А эти законы, в свою очередь, говорят о том, что наряду с наблюдаемой частью Вселенной имеется скрытая от прямого наблюдения часть. Ф.Клейн разъясняет это положение так:

   Гиперболическая геометрия наделяет прямую двумя бесконеч­но удаленными точками. О том, существует ли по ту сторону обеих бесконечно удаленных точек еще один участок прямой, дополняю­щий до замкнутой линии участок, лежащий в конечной области, сказать ничего нельзя, так как наши движения никогда не дово­дят нас до бесконечно удаленных точек, не говоря уже о том, чтобы вывести за их пределы. Во всяком случае можно присоеди­нить такой участок как мысленную, идеальную часть прямой ли­нии [2; 268].

Математика не считается с нашими эмпирическими движениями. Неэвклидова геометрия даёт необходимый вывод о том, что плоскость Лобачевского является двусторонней, двусторонне ориентированной, так что двойником вещественной геодезической линии на одной её стороне выступает мнимая геодезическая на другой стороне. Этими линиями отображается отношениемежду на­блюдаемой и скрытой частями единой Вселенной. Локальный вариант по­добного отношения изучается в астрофизике на примере шварцшильдовского уравнения, описывающего метрику пространства-времени внутри черной дыры: при переходе так называемой сферы Шварцшильда, служащей ло­кальным аналогом космологического горизонта Вселенной, радиус черной дыры становится мнимым. То же касается и трансформации времени.

В общей теории относительности характеристики мировых линий -в первую очередь их кривизна – ставятся в зависимость от распре­деления и движения наблюдаемой материи. Пространство как самостоя­тельная сущность исчезает, оно просто превращается в характеристику состояния космологической материи. Из-за отождествления инерции и гравитации разделение инерциальных и гравитационных сил становится условным. Можно было бы ввести в ОТО понятие единого мирового време­ни как времени, интегрирующего местные времена всех тех наблюдателей, которые следуют в своем движении среднему движению материи. Так де­лают при нестационарных решениях уравнений ОТО, и тогда снова дости­гают сведения пространственной протяженности ко времени по типу того, что имеет место mutatis mutandis    в ОТО.

Однако, как показал Гёдель, все такие решения уравнений ОТО и их интерпретации являются искусственными, натянутыми, потому что нет никакого критерия, по которому их можно было бы выделить среди более экзотических решений. Одно из них - роторное решение с расширением Вселенной - приведено самим Гёделем. В нем время оказывается замкну­тым - вывод, приводящий к абсурду. Абсурд раскрывается в возможности человека совершить путешествие в свое прошлое и внести в свое пове­дение в прошлом такие изменения, которые несовместимы, с его памятью о прошлом [12; 561]. Разрушение же памяти человека равноценно раз­рушению его личности.

Такого рода критический анализ теории относительности, по-види­мому, и давал   основание Лузину утверждать, что в идеях Эйнштейна "есть многое, относящееся скорее к "министерству пропаганды", чем к скромной добросовестной мысли ученого".

Литература

1.         Лузин H.Н. Современное состояние функции действительного пере­менного. М.-Л., 1933.

2.         Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. - Об основаниях геометрии. М., 1956.

3. Флоренский П. Мнимости в геометрии. М.:"Лазурь",1991_, 2-е изд.

4. См. письмо П.А.Флоренского К.Д. Флоренскому. - Вопросы истории естествознания и техники, 1988,№ 1.

5.  Brouwer L.E.J. Collected works, vol.I, Amsterdam–Oxford,1975

6. Рашевский П.K. "Основания геометрии" Гильберта и их место в историческом развитии вопроса. - В кн.: Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948.

7. Лузин Н.Н. Собрание сочинений, т.II. М.,1958.

8. Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды. М., 1992.

9. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ. М., 1987.

10.                      Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948.

11. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. М., 1948.

12. Gödel K. A remark about between relativity theory and idealistic philosophy.–In: Albert Einstein: philosopher–scientist. Evanston, Illinois,1949.

13. Седов Л.И. Размышления о науке и об учёных, М., 1980.

14. Некрасов П.А. Московская философско-математическая школа и её основатели. – Математический сборник, т.25, вып. I, М., 1904.

15. Флоренский П.А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания». - Историко-математические исследования,вып.   XXX. М., 1986.

16. Вернадский В.И. "Царство моих идей впереди". - Природа, 1990, № 6.